Topic outline
- General
- KB 1: Teori Bilangan
KB 1: Teori Bilangan
Mahasiswa PPG yang berbahagia, salam jumpa dengan kuliah online Mata Kuliah Teori Bilangan. Mendalami kajian ini, diharapkan Anda menguasai dan dapat menjelaskan sifat-sifat dasar yang berkaitan dengan relasi keterbagian pada himpunan bilangan bulat, faktor persekutuan terbesar, kelipatan persekutuan terkecil, bilangan prima, dan kekongruenan. Pada bagian akhir modul, disajikan tugas dan tes formatif untuk menguji pemahaman Anda terkait materi ini. Selamat mecermati sajian pada modul online ini.
Sesi 1: Keterbagian
Apabila kita ditanya, "Apakah 0 bilangan genap?", apa jawaban kita? Untuk dapat menjawab pertanyaan tersebut dengan benar, tentu kita perlu memahami makna bilangan genap. Pemaknaan bilangan genap tidak lepas dari konsep keterbagian. Bilangan genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi oleh 2. Melalui pengkajian materi keterbagian ini, jawaban atas pertanyaan di atas akan menjadi jelas. Sifat-sifat keterbagian pada bilangan bulat merupakan dasar pengembangan teori bilangan. Penjelasan tentang keterbagian dapat dipelajari pada materi dalam file berikut ini.
Sesi 2: Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Untuk setiap bilangan bulat a paling sedikit memiliki dua faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri. Suatu bilangan bulat dapat memiliki faktor selain 1 dan dirinya sendiri. Sebagai contoh 20 memiliki faktor 1, 2, 4, 5, 10 dan 20, sedangkan 30 memiliki faktor 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 dan 30. Dari contoh ini diperoleh bahwa 1, 2, 5 dan 10 merupakan faktor dari 20 dan sekaligus faktor dari 30. Fakta tersebut mengantarkan ke konsep faktor persekutuan, dan faktor persekutuan terbesar. Selengkapnya, penjelasan tentang Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dapat dipelajari pada materi dalam file berikut ini.
Sesi 3: Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kita mengetahui bahwa 30 = 6 . 5 dan 30 = 10. 3. Ini berarti 30 merupakan kelipatan 5 dan juga kelipatan 3. Fakta ini mendasari konsep kelipatan persekutuan dan kelipatan persekutuan dan kelipatan persekutuan terkecil sebagaimana disajikan pada materi yang disampaikan melalui file tersebut.
Sesi 4: Bilangan Prima
Bilangan 6 memiliki empat faktor yakni 1, 2, 3, dan 6. Tetapi bilangan 7 hanya memiliki dua faktor yakni 1 dan 7. Setiap bilangan asli lebih dari 1, mempunyai paling sedikit 2 faktor yakni 1 dan bilangan itu sendiri. Jika bilangan asli hanya memiliki 2 faktor, maka bilangan tersebut dinamakan bilangan prima. Berbagai sifat terkait bilangan prima, disajikan pada file berikut.
Sesi 5: Kekongruenan
Relasi kekongruenan merupakan tindak lanjut dari kajian tentang keterbagian dalam himpunan bilangan bulat. Relasi kekongruenan berkaitan dengan sifat-sifat yang menarik dalam kajian sifat-sifat pada sistem bilangan bulat Penjelasan tentang kekongruenan pada bilangan bulat disajikan pada materi yang diberikan melalui file berikut ini.
Gambaran umum tentang teori bilangan dapat disimak dalam slide presentasi berikut:
Untuk memahami lebih lanjut tentang teori bilangan silahkan simak Video berikut:
Sumber: https://www.youtube.com/watch?v=FirJVPVSPh4
Forum Diskusi M2 KB 1
Setelah mempelajari materi di atas, silahkan diskusikan materi tersebut pada forum diskusi berikut.
Tes Formatif M2 KB1
Dengan selesainya Anda mempelajari materi dalam kegiatan belajar ini, maka untuk mengukur kemampuan penguasaan materi tersebut, Anda diminta untuk mengerjakan soal yang terdapat dalam Tes Formatif Modul 2 Kegiatan Belajar 1
- KB 2: Matriks, Sistem Persamaan Linear, dan Sistem Pertidaksamaan Linear
KB 2: Matriks, Sistem Persamaan Linear, dan Sistem Pertidaksamaan Linear
Selamat bertemu peserta PPG dalam jabatan pada kegiatan belajar materi matriks, sistem persamaan linear, dan sistem pertidaksamaan linear.
Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan sehari-hari adalah materi matriks, sistem persamaan linear, dan sistem pertidaksamaan linear. Dengan menggunakan matriks maka permasalahan yang kompleks dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana dan selanjutnya dapat diselesaikan dengan lebih cepat dan akurat. Di lain pihak banyak permasalahan kontekstual yang menuntut suatu penyelesaian yang harus memenuhi banyak kendala, seperti ketersediaan dana dengan kebutuhan yang ada. Model matematika sederhana yang dapat digunakan untuk permasalahan seperti ini adalah sistem persamaan linear dan sistem pertidaksamaan linear. Modul berjudul Matriks, Sistem Persamaan Linear, dan Sistem Pertidaksamaan Linear ini membahas tentang pengertian/definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks dan sifat-sifatnya, determinan matriks, invers matriks, sistem persamaan linear dan sistem pertidaksaman linear beserta cara penyelesaiannya, serta penggunaan matriks dalam penyelesian sistem persamaan linear dan pertidaksamaan linear.
Pendahuluan
Setelah mempelajari modul ini Anda peserta PPG DALJAB diharapkan dapat: 1) menjelaskan pengertian/definisi matriks; 2) menyebutkan jenis-jenis matriks dan contohnya; 3) menentukan hasil operasi matriks; 4) menentukan sifat-sifat operasi matriks; 5) menjelaskan pengertian determinan matriks; 6) menghitung determinan matriks; 7) menyebutkan pengertian invers matriks; 8) menentukan invers matriks; 9) menuliskan bentuk sistem persamaan linear (SPL) dua dan tiga variabel; 10) menjelaskan macam-macam SPL; 11) menjelaskan pengertian penyelesaian (solusi) dan himpunan penyelesaian suatu SPL; 12) menentukan himpunan penyelesaian SPL; 13) menyelesaikan SPL dengan operasi matriks; 14) menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
Sesi 1. Matriks dan Jenisnya
Peserta PPG dalam jabatan, kita mengawali kajian tentang matriks dan sistem persamaan linear dengan mengingat kembali pengertian matriks. Masih ingat bukan. Berikut ini definisi matriks:
Matriks adalah susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan dalam bentuk baris dan kolom. Bilangan-bilangan tersebut disebut entri atau komponen matriks.
Nama suatu matriks dituliskan dengan huruf kapital.
Ukuran (ordo) suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom matriks tersebut. Jika m menyatakan banyaknya baris dan n menyatakan banyaknya kolom dari suatu matriks, maka ukuran matriks tersebut dituliskan dengan mxn,
Uraian lebih detil yang disertai dengan contoh matriks serta jenisnya dapat dipelajari di http://ppg.spada.ristekdikti.go.id/pluginfile.php/5768/mod_label/intro/Matriks%20dan%20Jenisnya.pdf
Selanjutnya, agar Anda lebih memahami pengertian matriks, ordo matriks, dan contohnya, saksikan tampilan video berikut.
(sumber: https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=7SLkaxcQBe4)
Berdasarkan banyaknya baris dan kolom serta entri suatu matriks, ada beberapa jenis matriks. Matriks yang sudah sering dikenal adalah matriks nol dan matriks identitas. Selain kedua jenis matriks tersebut, ada beberapa jenis matriks yang lain. Untuk itu, perhatikan tayangan video berikut.
(sumber: https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=n70rdSxZ3Ew)
Sesi 2. Operasi Matriks dan Sifatnya
Setelah kita mempelajari pengertian matriks dan jenisnya, kita akan mengkaji operasi yang didefinisikan pada matriks.
Seperti pada bahasan bilangan, dalam kajian matriks pun ada beberapa operasi yang didefinisikan dan disertai dengan sifat-sifat yang berlaku
Operasi matriks yang dimaksud adalah operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian
Untuk kajian materi ini, dapat Anda membacanya pada tautan berikut.
Untuk lebih memperjelas bagaimana operasi penjumlahan dan pengurangan matriks dilakukan, Anda dapat menyimak tayangan video berikut.
(sumber: https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=_iOEnb6qjT0)
Untuk operasi perkalian matriks, dibedakan 2 macam, yakni perkalian matriks dengan skalar dan perkalian 2 matriks. Berikut ini Anda dapat menyimak video perkalian matriks
(sumber: https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=AwPQN5k4iHI)
Sampai di sini Anda sudah mempelajari operasi yang didefinisikan pada matriks.
Sesi 3. Determinan dan Invers Matriks
Peserta PPG dalam jabatan, pada sesi ini kita akan mempelajari determinan dan invers matriks.
Meskipun kita sudah sering menentukan atau menghitung determinan suatu matriks, tahukah Anda tentang pengertian/definisi determinan matriks?
Misalkan A matriks persegi. Determinan A, ditulis det(A) atau |A| dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasilkali elementer bertanda dari A.
Untuk sampai pada definisi determinan matriks seperti tersebut di atas, ada beberapa pengertian yang mendahuluinya, seperti permutasi, inversi, permutasi genap dan permutasi ganjil, dan hasil kali elementer.
Determinan dan invers matriks memilki keterkaitan yang sangat erat, yang ditunjukkan dengan beberapa sifat/teorema yang melibatkan keduanya. Kajian kedua materi ini dapat Anda pelajari materi yang ada dalam tautan berikut.
Selanjutnya untuk memperjelas pemahaman tentang pengertian determinan dan invers matriks, Anda dapat menyimak beberapa tayangan berikut.
Untuk pengertian determinan matriks, Anda dapat menyimak video berikut.
(sumber: https://www.youtube.com/watch?v=Z4ehnL0fETY)
Selanjutnya Anda dapat menyimak video berikut untuk memahami apa yang dimaksud dengan invers suatu matriks.dan bagaimana mencari invers suatu matriks.
(sumber: https://www.youtube.com/watch?v=9HSoIlhnB6U)
Selanjutnya, sebagai contoh menentukan invers matriks dapat Anda simak video berikut.
(sumber: https://www.youtube.com/watch?v=zZb6hQfK_4I)
Sampai di sini Anda sudah mempelajari determinan dan invers matriks.
Sesi 4. Sistem Persamaan Linear (SPL) dan Penyelesaiannya
Peserta PPG dalam jabatan, setelah mempelajari materi matriks, selanjutnya kita akan mengkaji materei Sistem persamaan linear (SPL). Materi ini merupakan salah satu model matematika yang sering digunakan dalam penyederhanaan suatu masalah. Penyelesaian masalah dalam bentuk SPL lebih mudah dan praktis. Ada berbagai macam metode untuk menyelesaikan SPL, antara lain metode grafik, metode eliminasi dan metode substitusi. Untuk menyelesaikan SPL dengan banyak variabel cukup besar, kita akan mengalami proses yang cukup panjang dan bahkan mungkin mengalami kesulitan untuk mendapatkan solusinya. Untuk itu, dalam modul ini kita akan mempelajari bagaimana menyelesaikan SPL dengan menggunakan operasi baris elementer (OBE) pada matriks yang dibentuk dari SPL tersebut.
Sistem persamaan linear (SPL) merupakan salah satu model matematika yang sering digunakan dalam penyederhanaan suatu masalah. Penyelesaian masalah dalam bentuk SPL lebih mudah dan praktis.
Suatu SPL dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks. Dengan menggunakan sifat-sifat yang terkait dengan matriks, suatu SPL dapat dibedakan menjadi SPL konsisten dan SPL tidak konsisten, SPL yang memiliki tepat satu solusi dan tak hingga banyak solusi.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan SPL, antara lain metode grafik, metode eliminasi, metode substitusi, metode campuran (eliminasi dan substitusi). Selain metode-metode tersebut, untuk menyelesaikan SPL dengan banyak variabel cukup besar, dapat digunakan operasi baris elementer (OBE).
Untuk mempelajarinya secara lebih detil, Anda dapat membaca materi ini pada tautan berikut.
http://ppg.spada.ristekdikti.go.id/pluginfile.php/5768/mod_label/intro/SPL%20dan%20OBE.pdf
Selanjutnya, untuk lebih mendukung penjelasan yang ada dalam materi tersebut, Anda bisa menyimak video berikut.
(sumber: https://www.youtube.com/watch?v=WQPEYkTKIQ4)
Untuk memahami lebih lanjut tentang Matriks dan Sistem Persamaan Linear, silahkan unduh dan pelajari slide berikut:
Sesi 5. Sistem Pertidaksamaan Linear
Mari kita ingat kembali persamaan linear. Persamaan linear satu variabel dinyatakan dalam bentuk , dengan suatu konstanta. Persamaan linear 2 variabel dapat disajikan dalam bentuk atau dengan merupakan suatu konstanta. Menurut El-khateeb (2016), pertidaksamaan adalah kalimat matematis yang dibangun dengan menggunakan satu atau lebih simbol untuk membandingkan 2 kuantitas. Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu. Pertidaksamaan linear satu variabel dinyatakan dalam bentuk Pertidaksamaan linear 2 variabel dapat dinyatakan dalam 2 bentuk yaitu atau . Apakah tanda pertidaksamaan linear hanya saja? Ternyata tidak. Untuk tanda pada pertidaksamaan linear bisa berupa . , merupakan contoh pertidaksamaan linear satu variabel. , merupakan contoh pertidaksamaan linear dua variabel.
Menyelesaikan pertidaksamaan artinya mencari nilai dari variabel yang membuat hubungan dua kuantitas dalam urutan yang benar. Nilai dari variabel yang membuat pertidaksamaan menjadi kalimat yang benar disebut penyelesaian pertidaksamaan. Himpunan semua penyelesaian dari pertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Yuk ingat kembali. Penyelesaian untuk persamaan linear satu variabel merupakan suatu bilangan, penyelesaian persamaan linear dua variabel merupakan suatu titik. Bagaimana dengan penyelesaian pertidaksamaan linear?.
Untuk mempelajari materi sistem pertidaksamaan linear dapat dilihat pada link berikut.
Pertidaksamaan linear.pdf
Pertidaksamaan linear.ppt
http://ppg.spada.ristekdikti.go.id/draftfile.php/2888/user/draft/231191924/Pertidaksamaan%20Linear.pptxSistem pertidaksamaan linear banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Untuk memperluas wawasan Saudara, silahkan pelajari penerapan sistem pertidaksamaan linear dalam soal cerita berikut ini.
Membuat sistem pertidaksamaan linear.pdf
Sampai di sini, Anda sudah mempelajari Modul 2.2 Matriks dan SPL, yang terdiri dari 5 topik, yakni matriks dan jenisnya, operasi matriks dan sifat-sifatnya, determinan dan invers matriks, sistem persamaan linear dan pertidaksamaan linear beserta penyelesaiannya (dengan menggunakan OBE). Selanjutnya silahkan diskusikan permasalahan tentang matriks dan permsamaan linear berikut dalam forum diskusi di bawah ini
Forum Diskusi M2 KB2
Ayo....kita lanjutkan ke forum diskusi untuk lebih memantapkan pemahaman materi yang kita pelajari.... bagaiamana.......siap khan.....???
Rangkuman
Selamat, Anda sudah selesai mempelajari materi yang disajikan dalam modul ini. Untuk mengingat kembali beberapa pengertian/definisi, sifat/teorema yang dibahas dalam modul ini, Anda dapat membacanya pada Rangkuman melalui tautan berikut ini.
Untuk lebih mendalami penguasaan materi tersebut, Anda disarankan untuk mempelajarinya secara lebih lengkap dengan menggunakan buku/referensi yang menjadi rujukan dari modul ini.
Tes Formatif M2 KB2
Dengan selesainya Anda mempelajari materi dalam modul ini, maka untuk mengukur kemampuan penguasaan materi tersebut, Anda diminta untuk mengerjakan soal yang terdapat dalam Tes Formatif Modul 2.KB2.
Kerjakan Tes Formatif yang terdiri dari 20 soal pilihan ganda tersebut, kemudian gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi modul ini.
Daftar Pustaka
Anton, H., 1994, Elementary Linear Algebra 7th edition, New York: John Wiley & Sons, Inc.
Anton, H dan Rorres, C. 2011. Elementary Linear Algebra 11th edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.
El-Khateeb, M.M.A. 2016. Errors Analysis of Solving Linear Inequalities among the Preparatory Year Students at King Saud University. Journal of Education and Practice Vol 7 No.12
Jacob, Bill, 1994, Linear Algebra. New York: W.H. Freeman and Company.
- KB 3: Program Linear
KB 3: Program Linear
Saudara-saudara mahasiswa PPG dalam jabatan yang berbahagia.
Menggunakan modul Aljabar dan Program linear, Saudara sekalian akan menguasai teori bilangan, matriks dan sistem persamaan linear, vektor dan ruang vektor, grup dan program linear. Khusus pada kegiatan belajar program linear ini, kita akan membahas tentang menjelaskan konsep dasar program linear, membuat model matematika dari masalah kontekstual, menentukan nilai optimasi (maksimum atau minimum) menggunakan metode grafik, menentukan nilai optimasi (maksimum atau minimum) menggunakan metode simpleks, menentukan bentuk dual suatu model matematika atau sebaliknya menentukan bentuk primal dari suatu model matematika, dan menyelesaikan penyelesaian primal-dual model matematika.
Pendahuluan
Pada KB ini, harapannya mahasiswa dapat menggunakan konsep-konsep program linear dalam menyelesaikan masalah optimasi (maksimum atau minimum) bidang-bidang seperti perdagangan, ekonomi, transportasi, kesehatan, pendidikan, dsb.
Di akhir kegiatan belajar ada tugas yang Saudara kerjakan mandiri untuk mengasah kemampuan dan keterampilan berpikir Saudara.
Untuk mengukur tingkat penguasaan Saudara terhadap kegiatan belajar Program Linear, disediakan pula Tes Formatif yang disertai dengan kunci jawabannya. Selamat belajar dan semoga sukses.
Sesi 1: Program Linear
Saudara-saudara sekalian, penguasaan terhadap materi pertidaksamaan linear sangat diperlukan untuk dapat mempelajari tentang program linear. Ketika Saudara sudah paham, mari kita lanjutkan dengan belajar tentang program linear.
Program linear banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari untuk menentukan nilai optimal (maksimal ataupun minimal). Penerapan program linear dalam bidang perdagangan, pendidikan, kesehatan, industri, dsb berkaitan dengan nilai optimasi. Sebelum menentukan nilai optimal, perlu dipelajari tentang definisi program linear, langkah-langkah mengubah soal penerapan program linear dalam bidang-bidang yang telah disebutkan ke dalam model matematika. Untuk lebih memahaminya, silahkan pelajari materi pada file berikut.
1. Program linear.pdf
Untuk mempelajari lebih lanjut tentang membuat model matematika disajikan soal cerita tentang perusahaan cokelat yang menghasilkan 2 jenis cokelat yaitu cokelat lapis krim dan cokelat lapis kacang. Terdapat sejumlah kendala/pembatas yang diberikan. Tujuan soal adalah menentukan keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan dan menentukan banyaknya produksi masing-masing jenis cokelat agar keuntungan maksimum. Untuk lebih jelasnya silahkan simak video tentang membuat model matematika berikut ini.
2. Membuat model matematika (perusahaan cokelat) .mp4
(sumber: https://www.youtube.com/)
(Pengarang: Yosep Dwi Kristanto)
3. Membuat model matematika (program diet).mp4
(sumber: https://www.youtube.com/)
(wenshenpsu, Penn State University)
Aplikasi program linear lainnya antara lain produksi barang, perencanaan produksi, masalah penyediaan dan pencucian serbet, pemotongan, perencanaan tenaga kerja, dan lain-lain. Silahkan unduh file berikut ini.
4. contoh aplikasi program linear
Contoh Aplikasi Program Linear (PDF)
5. artikel ilmiah aplikasi program linear 1
Artikel Ilmiah Aplikasi Program Linear 1 (PDF)
6. artikel ilmiah aplikasi program linear 2.pdf
Artikel Ilmiah Aplikasi Program Linear 2 (PDF)
Sesi 2: Metode grafik
Setelah kita mampu membuat model matematika dari suatu masalah program linear, selanjutnya kita dapat menentukan nilai optimasinya. Menentukan nilai optimasi (maksimum atau minimum) dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel menggunakan metode grafik. Ada dua metode yaitu metode titik ekstrim dan metode garis selidik. Untuk memahaminya, silahkan pelajari materi pada file berikut ini.
7. Metode grafik. Pdf
8. Metode grafik.ppt
Apakah kita dapat menggambar grafik dengan menggunakan teknologi? Untuk mempermudah menggambar daerah penyelesaian masalah program linear dalam bentuk pertidaksamaan linear dua variabel dapat menggunakan software geogebra. Tutorial penggunaannya dapat disimak pada video berikut ini.
9.Tutorial penyelesaian masalah program linear dengan menggambar grafik menggunakan software Geogebra.pdf
(Sumber: http://www.youtube.com)Pengarang: Memed Wachianto ( Guru Matematika SMK Negeri 10 Semarang )
10. Tutorial penyelesaian masalah program linear dengan menggambar grafik menggunakan software Geogebra.mp4
(Sumber: Screencast-O-Matic.com)Sesi 3: Metode Simpleks
Bagaimana menyelesaikan masalah program linear apabila ada sejumlah n variabel dan m pertidaksamaan?. Tentu saja kita kesulitan jika harus menggambarkannya. Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan sejumlah n variabel dan m pertidaksamaan, kita menggunakan metode simpleks. Metode simpleks ditemukan oleh George Dantzig pada tahun 1947. Untuk memudahkan Saudara belajar, silahkan membaca materi pada link berikut ini.
11. Metode simpleks.pdf
Metode Simplek (PDF)
Apakah Saudara sekalian masih merasa belum puas belajar metode simpleks? Untuk memperdalam penguasaan terhadap metode simpleks silahkan pelajari ebook berikut ini.12. Buku yang dikarang oleh Bazaraa
Linear Programming and Network Flows
13. Buku yang dikarang oleh Dantzig
Saudara sekalian,
Apakah ada cara praktik menyelesaikan masalah program linear dengan simpleks tanpa proses penghitungan manual? Kita dapat menggunakan excel solver, LINGO, dan LINDO
untuk mendapatkan penyelesaian optimal dan nilai optimasi masalah program linear. Kali ini akan digunakan LINDO untuk membantu kita menyelesaikan masalah program linear dengan metode simpleks. Gambar penyajian model matematika dan selesaian dengan LINDO adalah sebagai berikut.
14. Menuliskan model matematika dengan LINDO.png
-
15. penyelesaian optimal dengan LINDO.png
Penyelesaian Optimal dengan LINDO
Anda pastinya tertarik untuk menggunakan LINDO bukan?. Silahkan simak tutorial penyelesaian dengan LINDO pada video berikut ini.
16. Tutorial penyelesaian masalah program linear dengan software LINDO.mp4
(sumber: https://www.youtube.com/)
Sesi 4: Dualitas
Masih semangat belajar, teman-teman?
Sesi terakhir ini tentang dualitas.
Masalah program linear disusun model matematikanya dalam bentuk baku, maka kita dapat menyusun model matematika baru yang berkaitan erat antara satu dengan yang lain. Masalah PL yang dirumuskan pertama disebut primal, sedangkan masalah yang kedua disebut dual. Boleh juga dikatakan sebaliknya. Materi ini dikaji dalam topik dualitas. Silahkan baca materi dualitas pada file berikut ini.
17. Dualitas.pdf
Untuk mendapatkan pemahaman lebih bagaimana membentuk primal-dual, simak video berikut ini.
(Sumber: http://www.youtube.com)
Pengarang: Mechshala
Anda pasti bertanya-tanya dalam hati, mana contoh model matematika yang menerapkan teorema lemah dualitas dan teorema kuat dualitas. Simak video berikut ini.
18. Teorema dualitas.mp4
(sumber: https://www.youtube.com/)
Pengarang: Binghamton University
Untuk mendalami dualitas, silahkan pelajari intepretasi dualitas pada link berikut ini.
19. intepretasi dualitas.pdf
Penulis: Asst. Prof. Nelson Uhan
Rangkuman
Anda telah selesai mempelajari materi kegiatan belajar program linear. Rangkuman materi ini disajikan dalam link berikut ini
Tugas
Untuk semakin memantapkan kemampuan dan keterampilan berpikir Saudara, silahkan kerjakan tugas berikut ini secara mandiri.
20. Tugas.pdf
Daftar Pustaka
Barnett, Raymond A and Ziegler, Michael R.. 1993. College Mathematics For Bussiness, Economics, Life, Scienses and Social Scienses. New York: Macmillan Publishing Company.
Dantzig, G.B., Thapa, M.N. 1997. Linear Programming 1: Introduction. Springer-Verlag New York, LLC
Hadley, G. 1980. Linear Programming. Massachuttes: addison-Wesley Publishing Company.
Suyitno, Hardi. 2014, Program Linear dan Penerapannya. FMIPA Unnes
Trevisan, L. 2011. CS261: Optimization Handout 6. Stanford University
Winston, W.L. 1993. Operation Research: Applications and Algorithms. California: Duxbury Press
Kriteria Tingkat Penguasaan
Tingkat penguasaan Anda dapat diperoleh menggunakan rumus berikut ini.
Apabila tingkat penguasaan Anda 80 % atau lebih, Anda dapat melanjutkan ke modul berikutnya. Bagus!
Apabila tingkat pengusaan Anda kurang dari 80%, Anda harus mempelajari kembali kegiatan belajar ini.
Semoga Sukses.
-
Forum Diskusi M2 KB3
Hallo peserta PPG….., terus semangat…. Dan pasti masih tetap semangat kan…..
Setelah kalian mempelari materi Matematika 2 KB 3 ini dengan cermat dan seksama. Nah untuk lebih menambah wawasan kita tentang materi ini, mari kita lanjutkan untuk berdiskusi di forum ini ….. lanjut …….
- KB 4: Vektor dan Ruang Vektor
KB 4: Vektor dan Ruang Vektor
Hai Mahasiswa PPG!
Selamat berjumpa ... ayo belajar!
Dalam bidang aljabar, vektor memegang peran penting baik dalam matematika maupun kaitannya dengan bidang studi lain. Pertama-tama dikaji sifat-sifat mendasar vektor dan ruang vektor di R2 dan R3. Selanjutnya digeneralisasi ke Rn dan sebarang himpunan tak kosong V.
Ayo belajar .... vektor dan ruang vektor. Supaya dapat menjelaskan dan mengidentifikasi konsep dan sifat-sifat vektor di R2 dan R3 ; menerapkan konsep perkalian titik dua vektor, perkalian silang antara dua vektor di R2 dan R3 untuk memecahkan masasalah; menguraikan karakteristik ruang vektor di Rn dan ruang vektor umum; dan menjelaskan konsep bebas linear, merentang, dan basis suatu ruang vektor.
Sebelum memasuki materi, terlebih dahulu Anda dapat mengunduh file berikut untuk mengetahui gambaran KB ini.
Sesi 1: Vektor di R2 dan R3
Operasi dan Sifat-sifat Vektor di R2 dan R3
Simak video berikut.
(sumber https://www.youtube.com/watch?v=_YkIivLaVJ&t=89s)
(Sumber:https://www.youtube.com/watch?v=Gig718c21&t=584s)
1. Vektor Secara Geometri
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor-vektor sama disebut ekivalen.
2. Operasi Vektor
Dua vektor dapat dikalikan dengan skalar, dijumlahkan, dan dikurangkan.
Simak video berikut.
(Sumber:https://www.youtube.com/watch?v=XpokmDG1He4)
Sistem Koordinat
Vektor-vektor dapat digambarkan pada sistem koordinat Cartesius.
Simak video berikut.
(Sumber:https://www.youtube.com/watch?v=GEtuRcL81A)
Perkalian dengan Skalar
Perkalian vektor dengan skalar adalah kelipatan dari panjang vektor dengan arah yang sama atau arah berlawanan.
Simak video berikut.
(Sumber:https://www.youtube.com/watch?v=ZN7YaSbY3-w)
Sesi 2: Norm Vektor
Simak video berikut.
(Sumber: https://www.youtube.com/watch?v=6GoMXuE1FOw)
Sesi 3: Perkalian Titik dan Silang
Perkalian Titik dan Silang Vektor-vektor di R2 dan R3
Hasil perkalian titik dua titik adalah skalar; dan hasil perkalian silang dua vektor adalah vektor.
Simak video berikut.
(Sumber:https://www.youtube.com/watch?v=O1b0RNHnGvl)
(sumber:https://www.youtube.com/watch?v=qsqK1d-_8ik)
(Sumber:https://www.youtube.com/watch?v=CflA-joSXhw)
Simak video berikut.
(Sumber:https://www.youtube.com/watch?v=5AWob_z74Ks)
Luas Jajar Genjang
Dua vektor dapat membangun sisi-sisi jajar genjang. Luas daerah jajar genjang yang terbentuk dapat dicari dengan aturan perkalian silang
Simak video berikut.
(Sumber: https://www.youtube.com/watch?v=WeS4J4-Psqs)
Sesi 4: Ruang Vektor Umum
Ruang Vektor Umum dan Sifat-sifatnya
Ruang vektor R2 dan R3 dapat diperluas ke ruang vektor Rn dan ruang vektor umum V.
Simak video berikut.
(Sumber: https://www.youtube.com/watch?v=8DYyKKCBDBQ)Sesi 5: Sub Ruang
Sub Ruang Vektor
S Subruang vektor dari V jika S ruang vektor dan operasi di S sama dengan di V.
Simak video berikut.
(sumber: https://www.youtube.com/watch?v=5Es3vZJQJ-w)
Sesi 6: Kombinasi Linear
Kombinasi Linear dari Beberapa Vektor Lainnya
Himpunan yang bebas linear dan bergantung linear.
Simak video berikut.
(Sumber: https://www.youtube.com/wacth?v=KwBNpMqc2mU)
(Sumber: https://www.youtube.com/watch?v=ccilHwHTaSA)
Sesi 7: Merentang
Merentang ruang vektor
Vektor-vektor dalam suatu himpunan S merentang V jika setiap anggota V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari S.
Simak video berikut.
(sumber: https://www.youtube.com/watch?v=ivP-6oicIWU)
Sesi 8: Basis
Basis Ruang Vektor
Jika S bebas linear dan merentang V, maka S basis dari V.
Simak video berikut.
(Sumber: https://www.youtube.com/watch?v=rUJ5B-swc9Y)
(Sumber: https://www.youtube.com/watch?v=AqXOYgpbMBM)
Forum Diskusi M2 KB4
Hallo peserta PPG ......, semoga kalian tetap semangat ya....
Setelah kalian mempelajari materi dengan seksama, mari kita lanjutkan untuk memperdalam pengetahuan kita dengan berdiskusi dalam forum berikut..... Bagaimana siapkah......????
Tes Formatif M2 KB4
Dengan selesainya Anda mempelajari materi dalam modul ini, maka untuk mengukur kemampuan penguasaan materi tersebut, Anda diminta untuk mengerjakan soal yang terdapat dalam Tes Formatif Modul 2 KB 4.
- KB 5: Grup
KB 5: Grup
Selamat bertemu peserta PPG dalam jabatan pada kegiatan belajar materi grup.
Teori grup merupakan salah satu teori aksiomatik yang tertua dan paling sederhana (Bourbaki). Topik-topik dalam teori grup sarat dengan definisi dan teorema. Oleh karena itu, Anda dituntut untuk memahami setiap definisi dan teorema yang dipelajari dan mampu mengorganisasi konsep-konsep dalam pembuktian teorema. Kematangan matematik (Fraleigh) dan penguasaan terhadap logika, himpunan dan pemetaan (Hammack) diperlukan untuk mempelajari teori grup. Modul ini menyajikan sebagian kecil dari teori grup.
Pendahuluan
Setelah mempelajari materi ini Anda dapat menjelaskan operasi biner dan sifat-sifatnya,
struktur grup, subgrup dan grup siklik dengan sifat-sifatnya. Selain itu, Anda juga dapat menggunakan konsep grup dalam pembuktian.
Sesi 1. Operasi Biner
Peserta PPG dalam jabatan, kita mengawali kajian tentang grup dengan mengingat kembali pengertian pemetaan. Masih ingat bukan. Berikut ini definisi pemetaan.
Misalkan A dan B himpunan tak-kosong.
Pemetaan f : A → B didefinisikan sebagai aturan yang mengawankan setiap elemen di A dengan tepat satu elemen di B.
Jika S himpunan tak-kosong maka pemetaan dari SxS ke S disebut operasi biner pada S.
Untuk mempelajari operasi biner dan sifat-sifatnya simak video berikut ini.
Sumber: bermatematika.com
Anda dapat juga mempelajari operasi biner dan sifat-sifatnya menggunakan file berikut ini.
http://ppg.spada.ristekdikti.go.id/pluginfile.php/5769/mod_label/intro/1.%20Operasi%20Biner.pdf
Sesi 2. Grup
Setelah kita mempelajari operasi biner dan sifat-sifatnya, kita akan mengkaji sebuah himpunan tak-kosong yang dilengkapi operasi biner yang memenuhi sifat asosiatif, mempunyai elemen identitas dan setiap elemennya mempunyai invers yang kita sebut grup. Pengenalan grup beserta contoh-contohnya dapat Anda simak pada video berikut ini.
Sumber: Bermatematika.com
Setelah mengenal grup dan contoh-contohnya, lebih lanjut dapat Anda kaji sifat-sifat grup. Untuk itu simak video berikut ini.
Grup dan sifat-sifatnya dapat juga Anda kaji melalui file berikut ini.
http://ppg.spada.ristekdikti.go.id/pluginfile.php/5769/mod_label/intro/D.%202.%20Grup.pdf
Sesi 3. Subgrup
Peserta PPG dalam jabatan, kita telah mempelajari grup dan sifat-sifatnya. Selanjutnya, kita akan mengkaji himpunan bagian dari grup yang juga merupakan grup terhadap operasi yang sama dengan operasi pada grupnya. Himpunan bagian yang demikian disebut subgrup.
Video berikut ini dapat Anda simak untuk mempelajari subgrup.
Sumber: Bermatematika.com
Kajian mengenai subgrup dapat juga Anda lakukan melalui file berikut ini.
http://ppg.spada.ristekdikti.go.id/pluginfile.php/5769/mod_label/intro/D.%203.%20Subgrup.pdf
Sesi 4. Grup Siklik
Peserta PPG dalam jabatan, terdapat grup yang setiap elemennya merupakan perpangkatan bulat dari sebuah elemen tertentu. Grup yang demikian disebut grup siklik. Elemen tertentu tersebut dinamakan generator dari grupnya.
Untuk mempelajari materi grup siklik silakan simak video berikut ini.
Sumber: Bermatematika.com
Anda dapat menggunakan file berikut ini untuk mempelajari grup siklik.
http://ppg.spada.ristekdikti.go.id/pluginfile.php/5769/mod_label/intro/D.%204.%20Grup%20Siklik.pdf
Tugas
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi grup, silakan mengerjakan tugas pada file berikut ini secara mandiri atau berkelompok.
http://ppg.spada.ristekdikti.go.id/pluginfile.php/5769/mod_label/intro/F.%20Tugas.pdf
KriteriaTingkat Penguasaan
Tingkat penguasaan Anda dapat diperoleh menggunakan rumus berikut ini.
Apabila tingkat penguasaan Anda 80 % atau lebih, Anda dapat melanjutkan ke modul berikutnya. Bagus!
Apabila tingkat pengusaan Anda kurang dari 80%, Anda harus mempelajari kembali modul ini.
Forum Diskusi M2 KB5
Hai semuanya….., Alhamdulillah kita sudah sampai di akhir materi modul 2.
Tentu mempelajari materi ini mudah kan…… Mari kita diskusikan masalah berikut di forum diskusi ini….. yuk…….
Rangkuman
Selamat! Anda telah menyelesaikan kajian mengenai grup. Hal-hal penting yang telah anda pelajari dapat dilihat pada file berikut ini.
Tes Formatif M2 KB5
Untuk mengukur tingkat pemahaman Anda, Silahkan kerjakan soal pada tes formatif dan hitung skor yang diperoleh sesuai dengan cara penghitungan skor yang diberikan di modul.
Selamat berlatih...dan semoga mendapatkan skor dan pemahaman yang baik.
Daftar Pustaka
Anda dapat mempelajari materi grup dari berbagai sumber. Berikut ini beberapa sumber yang dapat Anda gunakan.
Arifin,A. (2000). Aljabar. Bandung: Penerbit ITB.
Fraleigh,J.B. (1989). A First Course in Abstract Algebra, Reading Massachusetts: Addison-Wesley.
Hammack, R. 2013. Book of Proof. Richard Hammack: Virginia.
Herstein, I.N. (1996). Abstract Algebra. New Jersey: Prentice Hall, Inc.
- Tugas Akhir & Tes Sumatif
Tugas Akhir & Tes Sumatif
TUGAS AKHIR
Setelah mempelajari dan memahami modul 2 ini, untuk menguji kemampuan bapak/Ibu, silahkan kerjakan tugas akhir berikut.
Tes Sumatif
Selamat ... sekarang bapak/ibu berada diakhir pembelajaran modul 2, untuk menguji kemampuan Bapak/Ibu, silahkan kerjakan tes sumatif berikut:
